Soit \(n=\sum_{k=0}^ra_k 10^k\) où les \(a_k\in[|0;9|]\) et \(r\ge 0\). Les \(a_k\) sont les chiffres de l'écriture décimale de \(n\). Remarquons que \[10\equiv 3 \bmod 7\] De là, \[n\equiv\sum_{k=0}^ra_k 3^k\bmod 7\] Voici les puissances de 3 modulo 7 :
| k | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | ... |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(3^k\) | 1 | 3 | 2 | -1 | -3 | -2 | 1 | ... |
Ainsi,
\[n\equiv a_0+3a_1+2a_2-a_3-3a_4-2a_5+\ldots\bmod 7\]
et donc, \(n\) est divisible par 7 si et seulement si
\[a_0+3a_1+2a_2-a_3-3a_4-2a_5+\ldots\equiv 0\bmod 7\]
Retenir : \(1,3,2\).
Exemple 1. \(n=12345678\). On regroupe les chiffres 3 par 3 en partant de la droite et on alterne \(+\) et \(-\), toujours en partant de la droite.
\[+(12)-(345)+(678)\]
On peut bien sûr prendre tous les chiffres modulo 7 :
\[+(12)-(345)+(601)\]
Dans chaque groupe, on fait \(\times 1\), \(\times 3\), \(\times 2\) (en partant de la droite du groupe) et on ajoute.
\[+(5)-(23)+(13)\]
Total : \(-5\). Notre nombre n'est pas un multiple de 7.
Exemple 2. \(n=2962806\). On regroupe les chiffres 3 par 3 en partant de la droite et on alterne \(+\) et \(-\), toujours en partant de la droite.
\[+(2)-(962)+(806)\]
On prend tous les chiffres modulo 7 :
\[+(2)-(262)+(106)\]
Dans chaque groupe, on fait \(\times 1\), \(\times 3\), \(\times 2\) (en partant de la droite du groupe) et on ajoute.
\[+(2)-(24)+(8)\]
Total : \(-14\). Notre nombre est un multiple de 7.