Dans tout cet article, \(E\) désigne un ensemble. On définit sur \(\mathcal P(E)\) une opération \(\mathbin\Delta\) en posant, pour tous \(A,B\subset E\), \[A\mathbin\Delta B=(A\setminus B)\cup(B\setminus A)\] Un élément \(x\) de \(E\) appartient à \(A\mathbin\Delta B\) si et seulement si \(x\) appartient à un et un seul des deux ensembles \(A\) et \(B\).
Proposition. \(\mathbin\Delta\) est commutative.
Démonstration. C'est évident. \(\square\)
Proposition. Pour tout \(A\in\mathcal P(E)\), \(A\mathbin\Delta \emptyset=A\) et \(A\mathbin\Delta A=\emptyset\).
Démonstration. Ici encore, c'est évident. \(\emptyset\) est donc l'élément neutre pour l'opération \(\mathbin\Delta\), et toute partie \(A\) de \(E\) possède un opposé pour \(\mathbin\Delta\), qui est \(A\) elle-même. \(\square\)
Proposition. \(\mathbin\Delta\) est associative.
Démonstration. Soient \(A,B,C\) trois parties de \(E\). Soit \(x\in E\). Notons \(P(x)\) la propriété « \(x\in (A\mathbin\Delta B)\mathbin\Delta C\) » et \(P'(x)\) la propriété « \(x\in A\mathbin\Delta (B\mathbin\Delta C)\) ». Faisons une table de vérité.
| \(x\in A\) | \(x\in B\) | \(x\in C\) | \(x\in A\mathbin\Delta B\) | \(x\in B\mathbin\Delta C\) | \(P(x)\) | \(P'(x)\) |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 |
| 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 0 | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 | 1 |
On a donc \(P(x)\iff P'(x)\), et donc \((A\mathbin\Delta B)\mathbin\Delta C=A\mathbin\Delta (B \mathbin\Delta C)\). Dorénavant, nous pourrons nous passer de parenthèses, et écrire plus simplement \(A\mathbin\Delta B \mathbin\Delta C\). \(\square\)
Proposition. Soit \(n\ge 2\). Soient \(A_1,\ldots,A_n\) \(n\) parties de \(E\). Soit \(x\in E\). Alors, \(x\in A_1\mathbin\Delta\ldots\mathbin\Delta A_n\) si et seulement si \(x\) appartient à un nombre impair des \(A_i\).
Démonstration. Procédons par récurrence sur \(n\).
Soit \(n\ge 2\). Supposons la propriété vérifiée pour \(n\). Soient \(A_1,\ldots,A_{n+1}\) \(n+1\) parties de \(E\). Soit \(x\in E\). On a \[A_1\mathbin\Delta\ldots\mathbin\Delta A_{n+1}=(A_1\mathbin\Delta\ldots\mathbin\Delta A_n)\mathbin\Delta A_{n+1}\] \(x\) appartient à \(A_1\mathbin\Delta\ldots\mathbin\Delta A_{n+1}\) si et seulement si on est dans l'un des deux cas ci-dessous.
Cas 1 : \(x\in A_1\mathbin\Delta\ldots\mathbin\Delta A_{n+1}\) et \(x\not \in A_{n+1}\). Dans ce cas, par l'hypothèse de récurrence, \(x\) appartient à un nombre impair d'ensembles parmi \(A_1,\ldots,A_n\). Comme \(x\not\in A_{n+1}\), \(x\) appartient à un nombre impair d'ensembles parmi \(A_1,\ldots,A_{n+1}\).
ou alors
Cas 2 : \(x\not \in A_1\mathbin\Delta\ldots\mathbin\Delta A_{n+1}\) et \(x\in A_{n+1}\). Dans ce cas, toujours par l'hypothèse de récurrence, \(x\) appartient à un nombre pair d'ensembles parmi \(A_1,\ldots,A_n\). Comme \(x\in A_{n+1}\), \(x\) appartient à un nombre impair d'ensembles parmi \(A_1,\ldots,A_{n+1}\).
Proposition. \((\mathcal P(E),\mathbin\Delta)\) est un groupe abélien.
Proposition. \(\cap\) est distributive par rapport à \(\mathbin\Delta\).
Démonstration. Soient \(A,B,C\) trois parties de \(E\). Soit \(x\in E\). Notons \(P(x)\) la propriété « \(x\in A\cap(B\mathbin\Delta C)\) » et \(P'(x)\) la propriété « \(x\in (A\cap B)\mathbin\Delta (A\cap C)\) ». Faisons une table de vérité.
| \(x\in A\) | \(x\in B\) | \(x\in C\) | \(x\in B\mathbin\Delta C\) | \(x \in A\cap B\) | \(x \in A\cap C\) | \(P(x)\) | \(P'(x)\) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 |
On a donc \(P(x)\iff P'(x)\), et donc \(A\cap(B\mathbin\Delta C)=(A\cap B)\mathbin\Delta (A\cap C)\). \(\square\)
Il est bien connu que \(\cap\) est commutative et associative, et possède un élément neutre qui est \(E\). En conclusion,
Proposition. \((\mathcal P(E),\mathbin\Delta,\cap)\) est un anneau commutatif.
Remarque. Ce n'est presque jamais un corps. En effet, soit \(A\subset E\). \(A\) est inversible pour \(\cap\) si et seulement si il existe \(B\subset E\) tel que \(A\cap B=E\). Mais \(A\cap B\subset A\), une condition nécessaire d'inversibilité est donc \(E\subset A\) et donc \(A=E\). Inversement \(E\) est inversible pour \(\cap\) puisque \(E\cap E=E\). Ainsi, \(\mathcal P(E)\) est un corps si et seulement si le seul élément non vide de \(\mathcal P(E)\) est \(E\), c'est à dire si et seulement si \(E\) possède un seul élément.
Soient \(A\) et \(B\) deux parties de \(E\). Considérons l'équation d'inconnue \(X\in\mathcal P(E)\) \[(\mathcal E)\quad (A\cap X)\mathbin\Delta B=\emptyset\]
Soit \(X\) une partie de \(E\). \(X\) est solution de \((\mathcal E)\) si et seulement si \((A\cap X)\mathbin\Delta B=\emptyset\) ce qui équivaut encore, en « ajoutant » \(B\) des deux côtés de l'égalité, à \((A\cap X)\mathbin\Delta B\mathbin\Delta B=\emptyset\mathbin\Delta B\), ou encore \[(\mathcal E')\quad A\cap X=B\] Remarquons tout d'abord que si \((\mathcal E)\) a une solution, alors \(B\subset A\). Nous supposons dorénavant cette inclusion vérifiée.
Soit \(X\) une solution de \((\mathcal E)\). On a \(A\cap X=B\), et donc \(B\subset X\). Posons \(X=B\cup C\), où \(B\cap C=\emptyset\). Remplaçons dans \((\mathcal E')\). Il vient \[B=A\cap (B\cup C)=(A\cap B)\cup (A\cap C)=B\cup (A\cap C)\] Ainsi, \(A\cap C\subset B\). Mais \(B\cap C=\emptyset\), donc \(A\cap C=\emptyset\). Résumons nous :
Si \(X\) est solution de \(\mathcal E\) alors il existe \(C\subset E\setminus A\) tel que \(X=B\cup C\).
Inversement, soit \(C\subset E\setminus A\). Soit \(X=B\cup C\). On a \[A\cap X=A\cap(B\cup C)=(A\cap B)\cup(A\cap C)=B\cup \emptyset=B\] et donc \(X\) est solution de \((\mathcal E)\).