« Un barbier rase tous les gens qui ne se rasent pas eux-mêmes, et eux seulement. Le barbier se rase-t-il lui-même ? »
Notons \(H\) l'ensemble des êtres humains. Définissons la proposition \(\mathcal R(x,y)\), définie pour tous \(x,y\in H\) : \(\mathcal R(x,y)\) si et seulement si \(x\) rase \(y\).
Traduisons l'affirmation du début de l'article : \[\exists b\in H,\forall x \in H,\lnot\mathcal R(x, x) \iff \mathcal R(b, x)\] Prenons un tel \(b\in H\). On a \[\forall x \in H,\lnot\mathcal R(x, x) \iff \mathcal R(b, x)\] En particulier, si nous prenons \(x=b\) (ce qui est possible, car \(b\in H\)), nous obtenons \[\lnot \mathcal R(b,b)\iff \mathcal R(b,b)\] qui est une contradiction. Un tel barbier ne peut pas exister.
Maintenant, changeons un petit peu notre assertion en oubliant « et eux seulement ».
« Un barbier rase tous les gens qui ne se rasent pas eux-mêmes. Le barbier se rase-t-il lui-même ? »
Cette fois-ci, la propriété est \[\exists b\in H,\forall x\in H,\lnot\mathcal R(x,x) \implies \mathcal R(b,x)\] Remarquer la subtile différence. On n'a plus une équivalence mais une implication. En prenant un tel \(b\in H\) et en regardant ce que cela donne lorsque \(x=b\), on obtient \[\lnot\mathcal R(b,b) \implies \mathcal R(b,b)\] Notons \(A=\mathcal R(b,b)\), La proposition \(A\) vérifie \(\lnot A\implies A\), ce qui entraîne que \(A\) est vraie. Le barbier se rase lui-même.
J'espère que le lecteur n'aura pas trouvé ce petit article trop rasoir 😀.