Colle numéro 20 : espaces vectoriels.
Cahier de Textes
MPSI 2024/2025
Février → Pâques
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Colle numéro 20 : espaces vectoriels.
Correction du devoir maison numéro 14 : pi est irrationnel.
Correction du TD numéro 19 : espaces vectoriels.
Dimension finie (suite)
Dualité. Formes linéaires coordonnées. Base duale en dimension finie. Hyperplans.
Dimension finie (fin)
Les hyperplans sont les noyaux des formes linéaires non nulles. Équations cartésiennes d'un hyperplan. Intersections d'hyperplans. Dimension d'une telle intersection. Brève introduction aux hyperplans affines et aux sous-espaces affines d'un espace vectoriel. Direction d'un sous-espace affine.
Matrices
Matrice d'un vecteur, d'une famille de vecteurs, dans une base. Isomorphisme entre un K-espace vectoriel de dimension fini n et l'espace vectoriel Mn,1(K).
TD numéro 20 : dimension finie.
Matrices (suite)
Matrice d'une application linéaire dans un couple de bases. Le cas des endomorphismes. Isomorphismes. Interprétation matricielle de l'image d'un vecteur par une application linéaire. Changements de bases pour les vecteurs, pour les applications linéaires.
Matrices (fin)
Rang d'une matrice. Matrice canonique d'une application linéaire. Matrices équivalentes. Deux matrices sont équivalentes si et seulement si elles ont le même rang. Le rang est coservé par transposition. Trace d'une matrice carrée, d'un endomorphisme. Matrices carrées semblables. Deux matrices semblables ont la même trace, la réciproque est fausse.
Colle numéro 21 : espaces vectoriels de dimension finie.
Correction du devoir maison numéro 15 : transcendance de e.
Correction du TD numéro 20 : dimension finie.
Analyse asymptotique
Fonction négligeable devant une autre au voisinage d'un point. Fonction dominée par une autre.
Analyse asymptotique (suite)
Fonctions équivalentes. Conservation du signe, de la limite. Lien entre équivalents et petit o. Opérations sur les équivalents. Équivalents usuels en 0. Comparaison des logarithmes, puissances et exponentielles au voisinage de l'infini.
TD numéro 21 : matrices.
Analyse asymptotique (suite)
Formule de Taylor-Young. Notion de développement limité. Unicité du DL, s'il existe. Le cas des fonctions paires et impaires. Développements limités usuels. Opérations sur les développements limités.
Analyse asymptotique (fin)
Intégration d'un développement limité. Sur des exemples, introduction à la notion de développement asymptotique. Formule de Stirling.
Colle numéro 22 : matrices.
Correction du devoir surveillé numéro 6 : endomorphismes nilpotents.
Correction du TD numéro 21 : matrices.
Étude des fonctions
Ensemble de définition, symétries et réduction de l'ensemble d'étude, variations, points remarquables. Étude à l'infini : direction asymptotique, branche parabolique, asymptote. Position de la courbe par rapport à une tangente, à une asymptote.
Étude des fonctions (fin)
Exemples d'étude de fonctions.
Groupes symétriques
Ordre d'un élément dans un groupe fini. Théorème de Lagrange.
TD numéro 22 : développements limités.
Groupes symétriques (suite)
Permutations d'un ensemble E. Groupe symétrique S(E) de E. Si E est fini de cardinal n, S(E) est fini, de cardinal n!. Ordre d'une permutation. Orbites. Les orbites forment une partition. Cycles, transpositions. Support d'un cycle, longueur, ordre. Deux cycles de supports disjoints commutent.
Groupes symétriques (fin)
L'ordre du produit de deux cycles de supports disjoints est le ppcm de leurs ordres. Toute permutation s'écrit de façon unique comme un produit de cycles de supports disjoints. Décomposition d'une permutation en produit de transpositions. Signature. Propriété de morphisme. Groupe alterné.
Colle numéro 23 : analyse asymptotique.
Correction du devoir maison numéro 16 : endomorphismes cycliques.
Correction du TD numéro 22 : développements limités.
Déterminants
Applications multilinéaires. Symétrie, antisymétrie, alternance.
Déterminants (suite)
Formes n-linéaires alternées sur un espace vectoriel de dimension n. Déterminant d'une famille de vecteurs dans une base. Déterminant d'une matrice carrée. Les cas n=2 et n=3. Déterminants, bases, matrices inversibles.
TD numéro 23 : permutations.
Déterminants (suite)
Déterminant d'une matrice triangulaire. Calcul des déterminants par des méthodes de pivot. Développement par rapport à une ligne ou une colonne : formule de Laplace.
Déterminants (suite)
Déterminant de Vandermonde. Déterminant d'un endommorphisme. Propriétés de morphisme du déterminant. Orientation d'un espace vectoriel réel.
Colle numéro 24 : permutations.
Correction du devoir maison numéro 17 : étude d'une fonction.
Correction du TD numéro 23 : permutations.
Déterminants (suite)
Produit d'une matrice et de la transposée de sa comatrice. Application au calcul de l'inverse.
Déterminants (fin)
Systèmes de Cramer. Formules de Cramer.
Intégration
Subdivisions d'un segment. Fonctions en escalier. Structure de R-algèbre. Intégrale sur un segment d'une fonction en escalier. Linéarité, positivité, croissance, inégalité triangulaire, formule de Chasles. Fonctions continues par morceaux sur un segment. Structure de R-algèbre.
TD numéro 24 : déterminants.
Intégration (suite)
Densité des fonctions en escalier dans l'ensemble des fonctions continues par morceaux. Notion de fonction intégrable sur un segment. Intégrale. Toute fonction continue par morceaux est intégrable. Linéarité de l'intégrale. Positivité, croissance, inégalité triangulaire. Formule de Chasles. Nullité de l'intégrale.
Intégration (suite)
Inégalité de Schwarz. Sommes de Riemann. Métode des rectangles. Méthode des trapèzes.
Colle numéro 25 : déterminants.
Correction du DS numéro 7 : développements limités et nombres de Bernoulli.
Correction du TD numéro 24 : déterminants.
Intégration (suite)
Primitives. Toute fonction continue sur un intervalle y admet des primitives. Lien entre primitives et intégrales.
Intégration (fin)
Intégration par parties. Changement de variable. Formule de Taylor avec reste intégral. Inégalité de Taylor-Lagrange. Brève extension des résultat du chapitre aux fonctions à valeurs complexes. Le module d'une intégrale est inférieur à l'intégrale du module.
Dénombrements
Notion d'ensemble fini.
TD numéro 25 : intégration.
Dénombrements (suite)
Parties d'un ensemble fini. Équivalence entre injectivité, surjectivité et bijectivité pour une application entre deux ensembles finis de même cardinal. Cardinal d'une union disjointe, d'une différence, de la réunion de deux ensembles finis. Brève extension à plus de deux ensembles. Cardinal d'un produit cartésien. Dénombrements d'applications et d'injections.
Dénombrements (fin)
Parties d'un ensemble fini. Parties de cardinal donné. Coefficients binomiaux. Interprétation combinatoire de la formule du binôme de Newton.
Exposé d'un projet en Python : le lancer de rayons.