Colle numéro 13 : fonctions convexes.
Cahier de Textes
MPSI 2024/2025
Noël → Février
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Colle numéro 13 : fonctions convexes.
Correction du devoir maison numéro 9 : théorème de Stone-Weierstrass.
Correction du TD numéro 13 : fonctions convexes.
Arithmétique (suite)
Décomposition en produit de nombres premiers (fin). Valuation p-adique d'un entier non nul. Application au calcul du pgcd et du ppcm.
Arithmétique (fin)
Congruences. Compatibilité avec l'addition et la multiplication. Petit théorème de Fermat. Anneaux Z/nZ. Éléments inversibles. Si n est premier, Z/nZ est un corps. Sinon, Z/nZ n'est pas intègre.
TD numéro 14 : arithmétique dans Z.
Primitives et équations différentielles
Notion de primitive. Toute fonction continue sur un intervalle admet des primitives (existence admise provisoirement). Définition provisoire de l'intégrale à partir d'une primitive. Formule de Chasles. Primitives usuelles. Intégration par parties.
Primitives et équations différentielles (suite)
Changement de variable. Notion d'équation différentielle. Deux exemples.
Colle numéro 14 : arithmétique dans Z.
Correction du TD numéro 14 : arithmétique dans Z.
Primitives et équations différentielles (suite)
Équation linéaire d'ordre 1. Équation homogène. Structure de l'ensemble des solutions. Méthode de variation de la constante.
Primitives et équations différentielles (suite)
Le problème de Cauchy. Résolution approchée : la méthode d'Euler. Équations linéaires d'ordre 2 à coefficients constants. Équation homogène. Équation caractéristique.
TD numéro 15 : primitives, équations différentielles.
Primitives et équations différentielles (fin)
Solutions à valeurs réelles. Équation avec second membre du type exponentielle x polynôme. Le problème de Cauchy.
Calcul matriciel
Notion de matrice. Somme de deux matrices, produit par un scalaire. Matrices élémentaires. Structure d'espace vectoriel. Produit matriciel. Propriétés de la multiplication. Transposée d'une matrice.
Colle numéro 15 : primitives, équations différentielles.
Correction du devoir surveillé numéro 4 : une équation fonctionnelle.
Correction partielle du TD numéro 15 : primitives, équations différentielles.
Calcul matriciel (suite)
Propriétés de la transposée. Matrices symétriques, antisymétriques. Opérations élémentaires sur les lignes et les colonnes d'une matrice. Interprétation par des produits avec des matrices inversibles. Systèmes linéaires. Interprétation matricielle. Systèmes compatibles, systèmes équivalents.
TD numéro 15 (bis) : primitives, équations différentielles.
Calcul matriciel (suite)
Algorithme du pivot de Gauss.
Calcul matriciel (fin)
L'anneau des matrices carrées. Le groupe des matrices inversibles. Le cas des matrices 2x2. Calcul pratique d'un inverse par une résolution de système linéaire. Matrices triangulaires. Structure d'algèbre. Matrices diagonales. Matrices triangulaires inversibles.
Colle numéro 16 : primitives, équations différentielles (bis).
Polynômes
L'algèbre des polynômes à coefficients dans un corps K (construction admise). De gré. Degré d'une somme, d'un produit. Intégrité de l'anneau K[X]. Composée. Degré d'une composée. Divisibilité dans l'anneau K[X]. Division euclidienne. Fonctions polynômes. Racines d'un polynôme. Isomorphisme entre polynômes et fonctions polynômes lorsque le corps K est infini.
Polynômes (suite)
Dérivée d'un polynôme. Formule de Taylor. Racines multiples, caractérisation par l'annulation des dérivées. Polynômes irréductibles. Théorème de d'Alembert-Gauss (admis). Polynômes irréductibles sur R et C. Polynômes scindés. Le nombre de racines d'un polynôme, comptées avec leurs multiplicités, est inférieur ou égal à son degré. Il y a égalité si et seulement si le polynôme est scindé.
TD numéro 16 : calcul matriciel.
Polynômes (suite)
Relations coefficients-racines pour un polynômes scindé. Algorithme d'Euclide. Pgcd de deux polynômes.
Polynômes (fin)
Polynômes premiers entre eux, théorème de Bézout, lemme de Gauss. Décomposition en produit de polynômes irréductibles. Ppcm de deux polynômes. Calculs du pgcd et du ppcm lorsqu'on possède une factorisation des polynômes. Interpolation de Lagrange.
Colle numéro 17 : calcul matriciel.
Correction du TD numéro 16 : calcul matriciel.
Fraction rationnelles
Notion de fraction rationnelle à une indéterminée sur un corps K. Le corps K(X). Égalité de deux F.R. Opérations. Forme irréductible. Degré. Degré d'une somme, d'un produit. Racines, pôles. Élément simple. Ordre. Le cas de R et C. Partie entière d'une F.R.
Fraction rationnelles (suite)
Parties polaires. Décomposition en éléments simples sur C. Le cas des pôles simples. Méthode des résidus. Sur des exemples, pôles multiples. D.E.S. sur R. Exemples. Primitives d'un élément simple de première espèce.
TD numéro 17 : polynômes.
Fraction rationnelles (fin)
Primitives des éléments simples d'ordre 2. Exemples.
Espaces vectoriels
Notion d'espace vectoriel. Exemples : K^n, espaces de fonctions, matrices, polynômes. Combinaisons linéaires.
Espaces vectoriels (suite)
Applications linéaires. Conservation des combinaisons linéaires. Endomorphismes, isomorphismes, automorphismes, formes linéaires. Espaces d'applications linéaires. Composée de deux applications linéaires, réciproque d'un isomorphisme. L'algèbre L(E). Le groupe linéaire GL(E).
Colle numéro 18 : polynômes.
Correction du devoir surveillé numéro 5 : intégrales de Wallis.
Correction du TD numéro 17 : polynômes.
Espaces vectoriels (suite)
Sous-espaces vectoriels. Caractérisation.
Espaces vectoriels (suite)
Image directe et réciproque d'un s.e.v. par une application linéaire. Noyau et image. Caractérisation de l'injectivité et de la surjectivité. Intersection de s.e.v. S.e.v. engendré par une partie. Sommes de s.e.v. Sommes directes. S.e.v. supplémentaires.
TD numéro 18 : fractions rationnelles.
Espaces vectoriels (suite)
Projecteurs, symétries. Familles libres, familles génératrices, bases. Caractérisation des familles libres.
Espaces vectoriels (fin)
Exemples de familles libres, de familles liées. Image d'une famille libre (resp : génératrice) par une injection (resp : surjection) linéaire. Le cas des bases. Caractérisation des applications linéaires par les images des vecteurs d'une base. Familles libres maximales, génératrices minimales, bases. Bases et s.e.v. supplémentaires.
Colle numéro 19 : fractions rationnelles.
Correction du devoir maison numéro 13 : Tchebychev et Lagrange.
Correction du TD numéro 18 : fractions rationnelles.
Dimension finie
Notion d'espace vectoriel de dimension finie. Cardinal des familles libres, des familles génératrices. Toutes les bases ont le même cardinal. Théorème de la base incomplète, théorème de la base extraite. Existence de bases. Dimension d'un sous-espace vectoriel. Cas d'égalité des dimensions. Existence et dimension de supplémentaires.
TD numéro 19 : espaces vectoriels.
Dimension finie (suite)
Dimension d'un produit d'espaces vectoriels, majoration de la dimension d'une somme de s.e.v., cas d'égalité. Dimension de l'image d'un s.e.v. par une appplication linéaire. Condition suffisante d'égalité. Dimension d'espaces isomorphes. Dimension des espaces d'applications linéaires. Rang d'une famille de vecteurs, d'une application linéaire. Théorème du rang. Équivalence entre injectivité, surjectivité et bijectivité quand les espaces de départ et d'arrivée ont la même dimension
Dimension finie (suite)
Dimension de la somme de deux s.e.v. Opérations ne changeant pas l'espace engendré par une famille de vecteurs. Calcul pratique d'un rang. Application à la recherche du noyau et de l'image d'une application linéaire.