Colle numéro 6 : suites.
Cahier de Textes
MPSI 2024/2025
Toussaint → Noël
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Colle numéro 6 : suites.
Correction du TD numéro 7 : suites.
Groupes, anneaux
Lois de composition interne. Commutativité, associativité. Élément neutre. Unicité du neutre lorsqu'il existe. Élément absorbant. Élément inversible. Unicité de l'inverse lorsqu'il existe et que l'opération est associative. Élément régulier. L'inversibilité entraîne la régularité lorsque l'opération est associative. Distributivité. Notion de groupe. Exemples.
Groupes, anneaux (suite)
Exemples de groupes (fin). Puissances d'un élément dans un groupe. Propriétés des puissances. Le cas des groupes additifs : multiples d'un élément. Sous-groupes d'un groupe.
TD numéro 8 : comparaison des suites.
Groupes, anneaux (suite)
Morphismes de groupes. Conservation du neutre, des puissances. Endomorphismes, isomorphismes, automorphismes. Image directe et réciproque d'un sous-groupe par un morphisme.
Noyau et image. Caractérisation des morphismes injectifs (resp : surjectifs) par leur noyau (resp : image).
Groupes, anneaux (suite)
Composée de deux morphismes de groupes. Réciproque d'un isomorphisme. Groupe des automorphismes. Anneaux, corps. Sommes, produits dans un anneau. Puissances et multiples. Groupe des éléments inversibles.
Colle numéro 7 : comparaison des suites.
Férié
Groupes, anneaux (fin)
Morphismes d'anneaux. Identités remarquables. Anneaux intègres. Espaces vectoriels et algèbres (seules les définitions ont été données).
TD numéro 9 : groupes, anneaux.
Fonctions
Algèbre des fonctions définies sur un ensemble, à valeurs réelles. Relation d'ordre partiel sur ces fonctions. Sup de deux fonctions. Fonctions majorées, minorées, bornées. Fonctions définies sur une partie de R : monotonie, monotonie stricte.
Fonctions (fin)
Extremum global, extremum local. Fonctions paires, fonctions impaires. Symétries du graphe de telles fonctions. Fonctions périodiques. Groupe des périodes.
Limites, continuité
Voisinages d'un point. Propriétés élémentaires. Propriété vérifiée au voisinage d'un point. Notion de limite d'une fonction définie sur une partie de R, à valeurs réelles.
Colle numéro 8 : groupes, anneaux.
Correction du devoir maison numéro 5 : équivalents de suites.
Correction du TD numéro 9 : groupes, anneaux.
Limites, continuité (suite)
Unicité de la limite. Si une fonction a une limite finie en un point, elle est bornée au voisinage du point. Fonction coninue en un point, continue sur un ensemble. Opérations sur les limites : somme, produit, produit par un réel, inverse, composée. Caractérisation séquantielle des limites.
Limites, continuité (suite)
Passage à la limite dans les inégalités. Théorèmes d'encadrement. Limite à gauche, limite à droite. Fonctions monotones. Opérations sur les fonctions continues. Prolongement par continuité.
Limites, continuité (suite)
Théorème des valeurs intermédiaires. Image d'un segment par une fonction continue. Fonctions continues strictement monotones. Équivalence avec l'injectivité. Continuité de la réciproque.
Correction du devoir maison numéro 6 : anneaux de Boole.
Colle numéro 9 : révision suites, groupes, anneaux.
Limites, continuité (fin)
Fonctions lipschitziennes. Continuité uniforme. Théorème de Heine. Extension des notions de limite et de continuité aux fonctions à valeurs complexes.
Dérivation
Notion de dérivée. Développement limité d'ordre 1. Tangente à la courbe. Dérivées d'ordre supérieur.
Dérivation (suite)
Dérivées directionnelles. Classes de fonctions. Oérations sur les dérivées.
TD numéro 10 : limites, continuité.
Dérivation (suite)
Dérivées d'ordre supérieur. Formule de Leibniz. Régularité d'une composée, d'un inverse, d'une réciproque. Extrema locaux et annulation de la dérivée. Théorème de Rolle.
Dérivation (suite)
Théorème des accroissements finis. Inégalité des accroissements finis. Fonctions monotones dérivables. Fonctions strictement monotones. Passage à la limite dans les dérivées.
Colle numéro 10 : limites, continuité.
Correction du devoir surveillé numéro 3 : construction du logarithme.
Correction du TD numéro 10 : limites, continuité.
Dérivation (fin)
Extension aux fonctions à valeurs complexes. Le théorème de Rolle n'est plus valide. L'inégalité des accroissements finis reste vérifiée.
Fonctions usuelles
Logarithme népérien. Exponentielle. Logarithmes et exponentielles en base quelconque.
TD numéro 11 : dérivation.
Fonctions usuelles (suite)
Fonctions puissances. Comparaison des logarithmes et des puissances au voisinage de l'infini et de 0. Comparaison des exponentielles et des puissances au voisinage des infinis. Fonctions circulaires sinus, cosinus et tangente (révision). Fonctions arc sinus, arc cosinus et arc tangente.
Fonctions usuelles (suite)
Fonctions sinus hyperbolique, cosinus hyperbolique et tangente hyperbolique. Paramétrage d'une hyperbole. Formules de trigonométrie. Fonctions argument sinus hyperbolique, argument cosinus hyperbolique.
Colle numéro 11 : dérivation.
Correction du devoir maison numéro 7 : étude d'un anneau.
Correction du TD numéro 11 : dérivation.
Correction du TD numéro 11 (fin) : dérivation.
Fonctions usuelles (fin)
Fonction argument tangente hyperbolique.
Fonctions convexes
Rappels sur les intervalles de R. Paramétrage d'un segment. Stabilité des intervalles par prise de barycentres. Notion de fonction convexe, de fonction concave. Exemples simples. Interprétation géométrique; l'arc est sous la corde.
TD numéro 12 : fonctions usuelles.
Fonctions convexes (suite)
Inégalité de Jensen. Croissance des pentes. Position de la courbe d'une fonction convexe par rapport à une droite sécante. Une fonction dérivable est convexe si et seulement si sa dérivée est croissante. Une fonction deux fois dérivable est convexe si et seulement si sa dérivée seconde est positive. Exemples. Position de la courbe par rapport à ses tangentes.
Fonctions convexes (fin)
Points d'inflexion. Exercice : p-normes.
Correction du devoir maison numéro 8 : fonctions à variation bornée.
Colle numéro 12 : fonctions usuelles.
Correction du devoir maison numéro 8 (fin) : fonctions à variation bornée.
Correction du TD numéro 12 : fonctions usuelles.
Arithmétique
La relation de divisibilité. Réflexivité, transitivité, antisymétrie au signe près. Division euclidienne. Sous-groupes de Z. Pgcd de deux entiers relatifs.
TD numéro 13 : fonctions convexes.
Arithmétique (suite)
Entiers premiers entre eux. Théorème de Bézout, théorème de Gauss. Algorithme d'Euclide : terminaison, correction, complexité. Algorithme d'Euclide étendu. Ppcm de deux entiers.
Arithmétique (suite)
Résolution de l'équation diophantienne ax+by=c. Pgcd d'un nombre fini d'entiers. Nombres premiers. Lemme d'Euclide. Il existe une infinité de nombres premiers. Décomposition d'un entier non nul en produit de nombres premiers. Existence et unicité de la décomposition.