Colle numéro 6 : suites.
Cahier de Textes
MPSI 2025/2026
Toussaint → Noël
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Colle numéro 6 : suites.
Correction du TD numéro 7 : suites.
Groupes, anneaux
Lois de composition. Commutativité, associativité, élément neutre. Unicité du neutre s'il existe. Élément inversible. Unicité de l'inverse si la loi est associative. Élément régulier. Distributivité. Notion de groupe. Exemples.
Groupes, anneaux (suite)
Exemples (suite). Puissances d'un élément. Le cas de groupes additifs : multiples. Sous-groupes. Caractérisation.
TD numéro 8 : comparaison des suites.
Groupes, anneaux (suite)
Morphismes de groupes. Conservation du neutre, des inverses, des puissances. Exemples. Isomorphismes, endomorphismes, automorphismes. Image directe et réciproque d'un sous-groupe par un morphisme. Noyau et image d'un morphisme. Caractérisation des morphismes injectifs et des morphismes surjectifs. Composée de deux morphismes, réciproque d'un isomorphisme.
Groupes, anneaux (suite)
Notion d'anneau. Anneaux commutatifs, corps. Sommes et produits dans un anneau. Puissances et multiples. Sous-anneaux. Caractérisation. Le groupe des inversibles d'un anneau. Morphismes d'anneaux. Identités remarquables. Anneaux intègres : éléments réguliers, diviseurs de zéro. Espaces vectoriels : définition, notion de combinaison linéaire, notion d'application linéaire.
Colle numéro 7 : suites (bis).
Correction du devoir maison numéro 4 : une suite récurrente.
Correction du TD numéro 8 : comparaison des suites.
Férié
TD numéro 9 : groupes, anneaux, corps.
Limites et continuité
Limites et continuité (suite)
Colle numéro 8 : groupes, anneaux.
Correction du devoir maison numéro 5 : un calcul d'équivalent.
Correction du TD numéro 9 : groupes, anneaux, corps.
Limites et continuité (suite)
TD numéro 10 : limites et continuité.
Limites et continuité (suite)
Toute fonction continue et injective est strictement monotone. Continuité de la réciproque d'une bijection continue strictement monotone. Fonctions lischitziennes. Toute fonction lischitzienne est continue. La réciproque est fausse.
Limites et continuité (fin)
Coninuité uniforme. La continuité uniforme entraîne la continuité. La réciproque est fausse. Toute fonction lipschitzienne est uniformément continue. La réciproque est fausse. Théorème de Heine : toute fonction continue sur un segment est unifmément continue. Brève extension des résultats du chapitre aux fonctions à valeurs complexes.
Dérivation
Notion de dérivée. Équivalence entre dérivabilité et existence d'un développement limité à l'ordre 1. Tangente à la courbe en un point où la fonction est dérivable.
Colle numéro 9 : révision des trois colles précédentes.
Correction du TD numéro 10 : limites et continuité.
Dérivation (suite)
Dérivées d'ordre supérieur. Dérivées à droite et à gauche. Classes de fonctions. Opérations sur les dérivées d'ordre 1 : somme, produit par un réel, produit, quotient, composée. Dérivée d'une réciproque de bijection. Opérations sur les dérivées d'ordre supérieur : somme, produit par un réel.
Dérivation (suite)
Formule de Leibniz. Composée de deux fonctions de classe Ck. Inverse d'une fonction de classe Ck qui ne s'annule pas. Réciproque d'une bijection de classe Ck dont la dérivée ne s'annule pas. Annulation de la dérivée en un extremum local qui n'est pas une borne de l'intervalle. Théorème de Rolle. Théorème des accroissements finis. Inégalité des accroissements finis. Monotonie et signe de la dérivée. Monotonie stricte : l'ensemble des points d'annulation de la dérivée ne contient aucun intervalle non trivial.
TD numéro 11 : dérivation.
Dérivation (fin)
Passage à la limite dans une dérivée. Prolongement d'une fonction de classe Ck. Extension aux fonctions à valeurs complexes. Le théorème de Rolle et le théorème des accroissements finis ne sont plus vérifiés. L'inégalité des accroissements finis reste vraie (preuve faite pour une fonction de classe C1).
Fonctions usuelles
Logarithme népérien (défini comme la primitive de 1/x qui s'annule en 1). Propriété de morphisme. Bijectivité, limites en 0 et à l'infini.
Fonctions usuelles (suite)
Fonction exponentielle. Logarithmes et exponentielles en bases quelconques. Fonctions puissances.Comparaison des logarithmes, puissances et exponentielles au voisinage de l'infini.
Colle numéro 10 : limites et continuité.
Correction du devoir surveillé numéro 3 : Étude d'un anneau.
Correction du TD numéro 11 : dérivation.
Correction du TD numéro 11 : dérivation (fin).
Fonctions usuelles (suite)
Fonctions circulaires. Sinus, cosinus, tangente. Fonctions arc sinus, arc cosinus, arc tangente. Fonctions sinus, cosinus et tangente hyperboliques.
TD numéro 12 : fonctions usuelles.
Fonctions usuelles (fin)
Fonctions hyperboliques réciproques.
Fonctions convexes
Rappels sur les intervalles de R et les parties convexes de R. Paramétrage d'un segment. Notion de barycentre de n réels. Fonction convexe, concave, définie sur un intervalle de R. Interprétation graphique : position de l'arc par rapport à la corde. Inégalité de Jensen.
Fonctions convexes (suite)
Croissance des pentes. Fonctions convexes dérivables : la dérivée est croissante. Fonctions convexes deux fois dérivables : la dérivée seconde est positive. Posiiton de la courbe par rapport à ses tangentes.
Colle numéro 11 : dérivation.
Correction du devoir maison numéro 7 : moyenne arithmético-géométrique.
Correction du TD numéro 12 : fonctions usuelles.
Fonctions convexes (fin)
Un exemple : p-normes, inégalité de Minkowski.
Arithmétique dans Z
Relation de divisibilité. Division euclidienne. Sous-groupes de Z.
Visite de l'ENSMA.
TD numéro 13 : fonctions convexes.
Arithmétique dans Z (suite)
Somme de deux sous-groupes d'un groupe abélien. Plus grand diviseur commun de deux entiers. Unicité au signe près. Théorème de Bézout, théorème de Gauss. Algorithme d'Euclide : description, terminaison, correction et complexité.
Arithmétique dans Z (suite)
Calcul des coefficients de Bézout. Quelques propriétés utiles. Plus petit multiple commun de deux entiers. pgcd(a, b) x ppcm(a, b) = a x b. Résolution de l'équation diophantienne ax + by = c. Pgcd d'un nombre fini d'entiers.
Colle numéro 12 : fonctions usuelles.
Correction du devoir maison numéro 8 : théorème de Stone-Weierstrass.
Correction des TD 13 et 13 bis : fonctions convexes, fonctions usuelles.
Arithmétique dans Z (suite)
Entiers premiers entre-eux deux à deux, entiers premiers entre-eux dans leur ensemble. Nombres premiers. Lemme d'Euclide. Équivalence entre irréductibilité et primalité. Il existe une infinité de nombre premiers. Tout entier non nul s'écrit de façon unique comme produit de nombres premiers. Valuation p-adique d'un entier.
Arithmétique dans Z (fin)
Application au calcul du pgcd et du ppcm. Congruences. Compatibilité avec l'addition et la multiplication. Petit théorème de Fermat. Annexe : introduction aux anneaux Z/nZ. Éléments inversibles. Z/nZ est un corps si et seulement si n est premier.
TD numéro 14 : arithmétique dans Z.
Primitives et équations différentielles
Notion de primitive. Existence de primitives pour une fonction continue sur un intervalle (théorème provisoirement admis). Formule de Chasles. Primitives usuelles. Intégration par parties.
Primitives et équations différentielles (suite)
Changement de variable. Primitives de fractions rationnelles simples. Notion d'équation différentielle. Équation linéaire homogène d'ordre 1.