Cahier de Textes
MPSI 2025/2026
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Prise de contact
Logique
Notion de proposition. Équivalence. Connecteurs ET, OU, NON.
Logique (suite)
Les connecteurs IMPLIQUE et EQUIVAUT. Démonstration par contraposition, démonstration par l'absurde. Quantificateur universel, quantificateur existentiel. Négation d'une phrase quantifiée.
Logique (fin)
Échange de quantificateurs.
Ensembles
Notion naïve d'ensemble. Les difficultés du concept, paradoxe de Russell. Relation d'appartenance. Égalité d'ensembles. Relation d'inclusion. Ensemble vide. Parties d'un ensemble.
Ensembles (suite)
Opérations sur les ensembles : réunion, intersection, différence, complémentaire. Couples, produit cartésien.
Correction du TD numéro 1 : logique.
Entiers naturels
Toute partie non vide de N possède un plus petit élément. Toute partie non vide et majorée de N possède un plus grand élément. Le théorèpme de récurrence faible. Exemples : somme des enteirs entre 0 et et n, somme des carrés des entiers entre 0 et n. Somme des termes d'une suite géométrique.
Entiers naturels (suite)
Formule du binôme de Newton. Extensions du principe de récurrence : récurrence forte, récurrence à deux termes. Suites définies par récurrence.
TD numéro 2 : ensembles.
>Applications, relations
Notion de fonction (ou d'application). Ensemble de départ, ensemble d'arrivée, graphe. Image d'un élément de l'ensemble de départ. Restriction, prolongements. Injections, surjections, bijections.
>Applications, relations (suite)
Composition des fonctions. Associativité, non commutativité. Application identité. Inverses à gauche, inverses à droite. Le cas des bijections. Réciproque d'une bijection. Fonction indicatrice d'un ensemble.
Colle 01 : Logique, ensembles.
Correction du TD numéro 2 : ensembles.
Correction partielle du TD numéro 3 : enstiers naturels.
Applications, relations (suite) Relations d'ordre. Ordre partiel, ordre total. Exemples. Majorants, minorants. Plus petit, plus grand élément. Sur des exemples, borne supérieure, borne inférieure.
Applications, relations (suite)
Applications, relations (fin)
Équivalence entre partitions et relations d'équivalence.
Nombres complexes
Le corps des nombres complexes. Partie réelle, partie imaginaire, d'un nombre complexe. Image d'un nombre complexe. Affixe d'un point du plan.
TD numéro 3 : entiers naturels.
Nombres complexes (suite)
Conjugué. Module. Les fonctions sinus et cosinus (propriétés adises). Formules de trigonométrie.
Nombres complexes (suite)
La fonction tangente. Exponentielle complexe. Nombres complexes de module 1. Formules d'Euler. Formule de Moivre. Arguments d'un nombre complexe non nul.
Colle 02 : entiers naturels.
Correction du TD numéro 3 : entiers naturels.
Nombres complexes (suite)
Propriétés de l'argument. Exponentielle d'un nombre complexe. Propriétés. Linéarisation, délinéarisation. Racines carrées d'un nombre complexe. Calcul des racines carrées. Équation du second degré. Racines nièmes de l'unité. Structure de groupe. Exemples.
Élection des délégués.
Nombres complexes (suite)
Racines nièmes d'un nombre complexe. Interprétations géométriques. Points, vecteurs, nombres complexes. Somme de deux nombres complexes, produit par un réel. Module et distances. Argument et angles. Similitudes. Translations, simulitudes à centre. Homothéties, rotations. Les similitudes conservent les angles.
TD numéro 4 : applications, relations.
Nombres complexes (fin)
Les injections de C vers C qui conservent les angles sont des similitudes.
Nombres réels
Notion de corps ordonné.
Nombres réels (suite)
Inégalités dans un corps ordonné. Compatibilité avec les opérations. Valeur absolue. Notion de borne supérieure. Égalité avec le plus grand élément lorsque celui-ci existe. Le corps des réels. Toute partie de R non vide et majorée possède une borne supérieure.
Colle 03 : applications, relations
Correction du devoir surveillé numéro 1.
Nombres réels (fin)
La droite réelle achevée. Propriété d'Archimède. Partie entière d'un réel. Parties denses. Densité de Q et R\Q dans R. Intervalles.
Suites
Opérations sur les suites. Notion de limite réelle. Suites géométriques. Unicité de la limite lorsqu'elle existe. Suites bornées. Toute suite bornée est convergente.
TD numéro 5 : nombres complexes.
Suites (suite)
Limites infinies. Opérations sur les limites. Cas d'indétermination.
Colle 04 : nombres complexes
Correction du devoir maison numéro 2.
Correction du TD numéro 5 : nombres complexes.
Correction du TD numéro 5 (fin) : nombres complexes.
Suites (suite)
Passage à la limite dans les inégalités. Théorème d'encadrement. Suites extraites. Une réciproque.
TD numéro 6 : nombres réels.
Suites (suite)
Suites adjacentes. Théorème des segments emboîtés. Théorème de Bolzano-Weierstrass.
Correction du devoir maison numéro 3.
Colle 05 : nombres réels