Cahier de Textes
MPSI 2024/2025
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Prise de contact
Logique
Notion de proposition. Propositions équivalentes. Connecteurs. Tables de vérité. Les connecteurs ET, OU. Leurs principales propriétés. Le connecteur NON. Lois de Morgan.
Logique (suite)
Le connecteur IMPLIQUE. Comment montrer une implication, comment montrer un OU. Transitivité de l'implication. Contraposition. Démonstration par l'absurde. Le connecteur EQUIVAUT. Quantificateurs.
Logique (fin)
Négation d'une phrase quantifiée. Échange de quantificateurs.
Ensembles
Notion naïve d'ensemble. Appartenance.
Correction du TD numéro 1 : logique.
Ensembles (suite)
Égalité d'ensembles. Inclusion. Ensemble vide. Parties d'un ensemble. Réunion, intersection.
Ensembles (fin)
Différence de deux ensembles, complémentaire. Couples, produit cartésien. Exercice : différence symétrique.
TD numéro 2 : ensembles.
Entiers naturels
Addition, ordre naturel, soustraction. Multiplication, divisibilité, division. Toute partie non vide de N possède un plus petit élément. Toute partie non vide et majorée de N possède un plus grand élément. Démonstrations par récurrence simple. Exemples. Somme des termes d'une suite géométrique.
Entiers naturels (suite)
Identités remarquables. Factorielle, coefficients binomiaux. Triangles de Pascal. Formule du binôme de Newton. Récurrence forte, récurrence à deux termes.
Colle 01 : Logique, ensembles.
Correction du TD numéro 2 : ensembles.
Entiers naturels (fin)
Suites définies par récurrence.
Applications, relations
Notion d'application. Ensemble de départ, ensemble d'arrivée, graphe. Restrictions, prolongements. Injections, surjections, bijections. Composition des applications. Associativité. Identité. Composition d'injections, de surjections, de bijections.
Applications, relations (suite)
Injectivité et inversibilité à gauche. Surjectivité et inversibilité à droite. Réciproque d'une bijection. Réciproque d'une composée de bijections.
TD numéro 3 : entiers naturels.
Applications, relations (suite)
Images directes, images réciproques. Fonctions indicatrices. Notion de relation binaire sur un ensemble. Relations d'ordre. Ordre partiel, ordre total. Majorants, minorants. Plus grand élément, plus petit élément.
Applications, relations (suite)
Borne supérieure, borne inférieure. Relations d'équivalence. L'exemple des congruences sur Z et sur R. Classes d'équivalence. Partitions d'un ensemble. Si R est une relation d'équivalence sur E, l'ensemble des classes modulo R est une partition de $E$. L'exemple des congruences dans Z.
Colle 02 : Entiers naturels.
Correction du TD numéro 3 : entiers naturels.
Applications, relations (fin)
À toute partition d'un ensemble on peut associer une relation d'équivalence.
Nombres complexes
Le corps C des nombres complexes. Partie réelle, partie imaginaire. Affixe d'un point du plan. Image dans le plan d'un nombre complexe. Conjugué. Propriétés de morphisme. Module. Multiplicativité, inégalité triangulaire.
Nombres complexes (suite)
Fonctions trigonométriques : sinus, cosinus, tangente. Groupe des nombres complexes de module 1. Exponentielle complexe. Formules d'Euler. Propriétés de morphisme de l'exponentielle. Formule de Moivre.
TD numéro 4 : applications, relations.
Nombres complexes (suite)
Arguments d'un nombre complexe non nul. Exponentielle complexe. Application à la déterminéation de formules de trigonométrie (linéarisation, délinéarisation). Racines carrées d'un nombre complexe.
Nombres complexes (suite)
Équation du second degré. Racines nièmes de l'unité. Racines nièmes d'un nombre complexe.
Colle numéro 3 : Applications, relations.
Correction du DS numéro 1.
Correction du TD numéro 4 : applications, relations.
Élection des délégués de classe.
Nombres complexes (suite)
Retour sur les racines de l'unité.
Nombres complexes (fin)
Similitudes directes. Translations, homothéties, rotations. Conservation des angles.
Nombres réels
Corps ordonnés.
TD numéro 5 : nombres complexes.
Nombres réels (suite)
Compatibilité de l'ordre avec l'addition et la multiplication. Valeur absolue. Inégalités triangulaires. Borne supérieure. Le corps R des réels. Toute partie de R non vide et majorée possède une borne supérieure. Toute partie de R non vide et minorée possède une borne inférieure.
Nombres réels (fin)
La droite réelle achevée. Opérations, ordre total. Propriété d'Archimède. Partie entière. Approximations décimales. Notion de partie dense. Q et R\Q sont denses dans R. Intervalles de R. Parties convexes de R. Les intervalles sont les convexes.
Colle numéro 4 : Nombres complexes.
Correction du devoir maison numéro 2 : une suite récurrente.
Correction du TD numéro 5 : nombres complexes.
Suites
Notion de limite réelle. Exemples.
Suites (suite)
Unicité de la limite, si elle existe. Suite convergente, suite divergente. Toute suite convergente est bornée, la réciproque est fausse. Une suite majorée en valeur absolue par une suite qui tend vers 0 tend aussi vers 0. Limite infinie. Limite d'une somme, d'un produit, d'un quotient. Limite de l'image d'une suite par une fonction (résultat admis pour l'instant). Passage à la limite dans les inégalités. Théorèmes d'encadrement.
TD numéro 6 : nombres réels.
Suites (suite)
Suites monotones. Suites adjacentes.
Suites (suite)
Théorème des sgments emboîtés. Théorème de Bolzano-Weierstrass. Extension des résultats du chapitre aux suites à valeurs complexes.
Colle numéro 5 : Nombres réels.
Correction du devoir maison numéro 3 : une transformation du plan complexe.
Correction du TD numéro 6 : nombres réels.
Suites (suite)
Suites arithmétiques, suites géométriques, suites arithmético-géométriques. Récurrences linéaires à deux termes. Équation caractéristique.
Suites (fin)
Récurrences linéaires à deux termes. Le cas où l'équation caractéristique a une unique racine.
Comparaison des suites
Suites équivalentes. Deux suites équivalentes ont la même limite. Deux suites équivalentes ont même signe au voisinage de l'infini. Opérations sur les équivalents.
TD numéro 7 : suites.
Comparaison des suites (suite)
Équivalents usuels. Exemples. Logarithmes et exponentielles d'équivalents. Négligeabilité, domination.
Comparaison des suites (fin)
Équivalents et petits o. Exemples. « Croissances » comparées : logarithmes, puissances, exponentielles et factorielles de suites qui tendent vers l'infini.